共识委员会数量如何确定？

首先，我们有一个很大的群体（我们称之为 U ），里面有诚实的人和不诚实的人。

现在，我们想要从这个群体中随机抽取一小部分人（称之为 G ），并计算这个小组中诚实人的概率。我们希望抽中的人都是诚实的人。但显然，不可能保证全部抽到诚实的人，那就让抽到诚实人的概率最大吧！

那么如何计算这个概率呢？

我们使用了超几何累积分布函数（CDFhg）和二项累积分布函数（CDFbinom）公式来确定最小的小组大小，以确保诚实人的概率高于我们可以接受的阈值。

我们用一个叫做超几何累积分布函数（CDFhg）的数学公式。简单来说，这个公式帮助我们根据群体 U 的总人数、诚实人数以及我们想要抽取的小组 G 的大小来计算诚实人的概率。

但我们想要确定一个最小的小组大小（称之为 n ），使得诚实人的概率高于一个我们可以接受的阈值（1 - ρ）。这样，我们可以在实际应用中使用这个小组大小。

如果我们的群体 U 变得非常大时，我们使用另一个二项累积分布函数（CDFbinom），它基于二项分布。这个公式与之前的类似，但它适用于更大的群体 U 。

最后，我们通过比较不同的阈值（ρ）和不诚实人所占比例（β），找到适用于不同场景的最小小组大小。这些大小可以应用于实际的协议，以确保我们抽取的小组 G 中诚实人的概率足够高。

我们来详细解释一下这两个数学公式：CDFhg 和 CDFbinom 。

超几何累积分布函数（CDFhg）

在这个公式中，我们使用 CDFhg(x, n, M, N) 来表示超几何分布的累积分布函数。

这里：

• N：群体 U 的总人数
• M：群体 U 中诚实人的数量
• n：我们要抽取的小组 G 的大小
• x：小组 G 中允许的最大诚实人数

然后，我们可以通过以下公式计算随机抽样的小组 G 中诚实人的概率：

$Prob[G honest] = CDFhg(⌈n/2⌉ − 1, n, ⌊|U|/β⌋, |U|)$

这个公式告诉我们，给定群体 U 中诚实人和不诚实人的数量，我们可以计算出抽取特定大小的小组 G 时，诚实人的概率。

二项累积分布函数（CDFbinom）

当群体U的大小趋于无穷大时，我们可以使用二项分布来替代超几何分布。二项累积分布函数表示为 CDFbinom(x, n, p) 。

这里：

• p：每次抽取的成功（诚实人）概率
• n：我们要抽取的小组 G 的大小
• x：小组 G 中允许的最大诚实人数

我们可以通过以下公式计算随机抽样的小组G中诚实人的概率：

$Prob[G honest] ≥ CDFbinom(⌈n/2⌉ − 1, n, 1/β)$

这个公式告诉我们，在一个非常大的群体中，我们可以计算出抽取特定大小的小组 G 时，诚实人的概率。

这两个数学公式都用于计算随机抽样的小组 G 中诚实人的概率。CDFhg 适用于有限大小的群体 U ，而 CDFbinom 适用于无穷大的群体 U 。这些公式帮助我们找到适当的小组大小，以确保诚实人的概率高于我们可以接受的阈值。